Нет, не отбирают. Это Ваше личное дело хотите ли Вы отказываться от гражданства страны откуда вы приехали в Америку. Но на присяге гражданина Вы отрекаетесь от каких либо обязательств перед другими странами и клянетесь быть верным только американским законам и правительству США.
>> двойное гражданство
Это сложная юридическая категория. После присяги гражданина США у Вас нет каких либо обязательств перед другими странами но американские власти разрешают использовать пасспорта других стран для поездок за границу. Помните однако что въехав например в Россию по российкому пасспорту Вы не сможете пользоваться защитой американского посольства т.к. на территории России Вы будете ТОЛЬКО гражданином РФ.
Алекс.

Спасибо Алекс. Очень полезная информация.

Алекс,у меня присяга в среду и сказали принести ГК и все паспорта,даже просроченные, допустим на присяге у меня не заберут мои Россиискии паспорт и мне нужно будет выехать в Россию ( я часто летаю В Петербург, т.к у меня там остались родители), какова процедура с паспортами при выезде из Америки и обратно? Нужна ли виза в Россию, если заберут россиискии паспорт? Спасибо

1. Российский пасспорт никто не заберет как я писал: заберут грин карту. Ее фактически обменяют на Naturalization certificate сразу после присяги.
2. Если российский пасспорт не просрочен то Вы будете показывать 2 пасспорта при check-in на самолет и при вьезде/выезде из России. Потом чтобы поехать в Россию Вам нужно быстро сделать американский пасспорт после присяги. Пойдите в ближайший post-office - это меньше месяца должно занять.
Будьте внимательны однако с продлением российского загран. паспорта: Российское посольство ввело новые правила обмена российких пасспортов: процесс может занять 6 месяцев и более.
Если российский пасспорт просрочен и Вы не отказались от российского гражданства то поехать в Россию Вы НЕ СМОЖЕТЕ, даже по американскому пасспорту, Вам откажут в российкой визе.
Самое смешное чтобы отказаться от российкого гражданства требуется НЕ ПРОСРОЧЕННЫЙ российский пасспорт. :) Welcome to the club !
Потому дабы избежать головных болей советую отказаться от российского гражданства и получить российкую визу в американский пасспорт ( если там у Вас родители наверняка можно получить какую-то многораозвую визу на много лет ).
Алекс.

Да, если рос. пасспорт просрочен а поехать очень нужно и имеется не просроченный внутренний пасспорт поехать можно через Украину: летите в Киев, показываете там американский пасспорт ( гражданам США на Украину виза не требуется ) и потом по внутреннему в Россию, затем обратно таким же образом.
Алекс.